Методы расчёта и подбора вариаторов
Расчет и подбор подшипников качения на заданный ресурс
Критерии работоспособности подшипников
Основными критериями работоспособности подшипников качения являются сопротивление контактной усталости и статическая контактная прочность.
Природа контактной усталости в подшипниках кроется в циклических нагрузках на крохотные площадки криволинейной поверхности тел качения и колец, вызывающих значительные напряжения металла в зоне контакта из-за его малой площади. Контактные напряжения имеют циклический (повторяющийся) характер, и приводят к образованию микроскопических трещин на поверхности металла, даже если он очень прочный - металл «устает».

Статическая контактная прочность заключается в способности металла выдерживать значительные статические напряжения, обусловленные, опять же, малой площадью контакта между телами качения и кольцами. Как известно из сопромата, напряжение в сечениях прямо пропорционально нагрузке и обратно пропорционально площади сечения, а при контактном (точечном или линейном) взаимодействии тел криволинейной формы (тела качения, кольца подшипника) эта площадь стремится к нулю, т. е. напряжение может возрастать до огромных значений. Поэтому, даже если нагрузка носит, преимущественно, статический характер, она может привести к недопустимой деформации тел качения и колец, что приведет к потере работоспособности узла. Деформация проявляется в изменении геометрической формы колец и тел качения, появлении на поверхности деталей вмятин и т. п.
Показателем сопротивления контактной усталости служит ресурс – продолжительность работы подшипник до появления первых признаков усталостного разрушения материала колец или тел качения. Ресурс L подшипников выражают в миллионах оборотов или Lh – часах работы. Связь между этими показателями определяет формула:
Lh = 106L/(60n),
где n – частота вращения подшипника, об/мин.
При проектировании машин подшипники качения не конструируют, а подбирают по таблицам каталога. Методы расчета (подбора) подшипников стандартизированы.
Основные расчетные зависимости для подшипников качения получены на основе экспериментальных исследований и практических испытаний. По результатам испытаний строят кривую усталости (пример такой кривой на рис. 1) в координатах: нагрузка RE, Н, ресурс L, млн. об. Очевидно, что участок получаемой кривой – гипербола.
В общем случае для вычисления ресурса L (млн. об.) в зависимости от действующей на подшипник нагрузки С (Н) используют формулу:
L = (C/RE)p, (1)
где С – динамическая грузоподъемность подшипника, Н; р – показатель степени кривой усталости (рис. 1); р = 3 для шариковых и р = 3,33 – для роликовых подшипников.

Подбор подшипников на сопротивление контактной усталости выполняют по базовой динамической расчетной грузоподъемности, которая представляет собой постоянную радиальную (или осевую) силу в Н, которую подшипник может воспринимать при базовом расчетном ресурсе, составляющем 1 млн. оборотов одного кольца относительно другого. Базовую динамическую расчетную грузоподъемность обозначают: Cr – для радиальных и радиально-упорных подшипников; Сa – для упорных и упорно-радиальных подшипников. Значения Cr и Сa для каждого подшипника заранее определены и приводятся в справочных каталогах.
Базовый расчетный ресурс L10 – ресурс в млн. оборотов, соответствующий 90%-ной надежности для конкретного подшипника, изготовленного из обычного материала с применением обычной технологии и работающего в обычных условиях эксплуатации.
При отличии свойств материала или условий эксплуатации от обычных, а также при повышенных требованиях к надежности определяют скорректированный расчетный ресурс Lsa в млн. оборотов или Lsah – в часах. Скорректированный по уровню надежности и условиям применения подшипника расчетный ресурс Lsah (в часах) определяется по формуле:
Lsah = a1a23(C/RE)p×(106/60n), (2)
где р – показатель степени кривой усталости; С – базовая динамическая расчетная грузоподъемность (радиальная Сr или осевая Сa), Н; RE – эквивалентная динамическая нагрузка (радиальная REr или осевая REa), Н; n – частота вращения кольца, об/мин; а1 – коэффициент надежности. При определении ресурса, соответствующего 10%-ной надежности, а1 = 1, при 95%-ной – а1 = 0,62, при 97%-ной – а1 = 0,44. а23 – коэффициент, учитывающий совместное влияние на долговечность особых свойств металла колец и тел качения (обычная плавка, вакуумный или электрошлаковый переплав и т. п.), условия эксплуатации (перекосы колец, наличие гидродинамической пленки масла в контакте колец и тел качения). При обычных условиях эксплуатации принимают следующие значения коэффициента а23: - для шариковых подшипников (кроме сферических) – 0,7…0,8; - для роликовых конических подшипников – 0,6…0,7; - для роликовых цилиндрических подшипников – 0,5…0,6; - для шариковых сферических двухрядных подшипников – 0,5…0,6; - для роликовых радиальных двухрядных сферических подшипников – 0,3…0,4.
Условие пригодности подшипника для данных условий эксплуатации:
Lsah ≥ L'sah, (3)
где Lsah – расчетный ресурс в часах; L’sah – заданный ресурс, в часах.
Обычно заданный ресурс L'sah соответствует ресурсу машины или наработке между плановыми ремонтами. В зависимости от типа машины и условий эксплуатации заданный ресурс может быть в пределах 4…100 тыс. часов.
Приведенная формула для определения расчетного ресурса Lsah справедлива при эквивалентных нагрузках RE, не превышающих 0,5С (половины базовой динамической расчетной грузоподъемности) и частоте вращения n ≤ 10 об/мин.
***
Эквивалентная нагрузка
В большинстве случаев радиальные и радиально-упорные подшипники подвержены совместному действию радиальной и осевой сил. Кроме того, условия работы подшипников разнообразны, и могут отличаться по величине кратковременных перегрузок, температуре, вращению внутреннего или наружного кольца. Влияние всех этих факторов на работоспособность подшипников учитывают введением в расчет эквивалентной динамической радиальной нагрузки.
Эквивалентная динамическая радиальная нагрузка REr для радиальных и радиально-упорных подшипников – это такая постоянная радиальная сила, под действием которой подшипник качения будет иметь такой же ресурс, как и в условиях действительного выражения:
REr = (XVRr + YRa)КБКТ, (4)
где Rr – радиальная сила, действующая на подшипник (суммарная опорная реакция), Н; Ra – осевая сила, действующая на подшипник, Н; V – коэффициент вращения, учитывающий зависимость ресурса подшипника от того, какое из колец вращается: V = 1 при вращении внутреннего кольца подшипника относительно вектора радиальной нагрузки, и V = 1,2 – при вращении наружного кольца; КБ – динамический коэффициент, учитывающий влияние эксплуатационных нагрузок на долговечность подшипника: при работе без толчков и ударов - КБ = 1, при умеренных толчках и кратковременных перегрузках до 150% - КБ = 1,3…1,5, при сильных ударах и кратковременных перегрузках до 300% - КБ = 2,5…3,0; КТ – коэффициент, учитывающий влияние температуры на долговечность подшипника. Так, при t ≤ 100 ˚С – КТ = 1,0; при t = 150 ˚С – КТ = 1,1; при t = 250 ˚С – КТ = 1,4 и т. п. Вращение внутреннего кольца подшипника является более благоприятным, так как число циклов нагружения при этом в два с лишним раза меньше, чем при вращении наружного кольца. X, Y – коэффициенты, осевой и радиальной нагрузок (приводятся в каталоге подшипников); эти коэффициенты зависят от типа и конструкцивных особенностей подшипника, а также от соотношения осевой и радиальной сил Ra/VRr.
Осевая сила Ra влияет на ресурс подшипника. При действии этой силы кольца подшипника смещаются относительно друг друга в осевом направлении. Происходит выборка радиального зазора между кольцами и телами качения, что до некоторого значении Ra способствует более равномерному распределению нагрузки между телами качения. Осевая сила Ra не уменьшает ресурс подшипника, пока отношение Ra/VRr не превысит значения е – параметра осевого нагружения (справочная величина, приводится в каталогах).
При Rа/VRr ≤ е коэффициенты X = 1, Y = 0, т. е. при определении RE осевую нагрузку не учитывают.
При увеличении силы Ra, т. е. при Ra/VRr ≥ е, ухудшаются условия работы тел качения и колец подшипника, снижается его ресурс, что и учитывает параметр е при выборе значений коэффициентов X и Y.
При установке вала на шариковых радиальных подшипниках осевая сила Ra, нагружающая подшипник, равна внешней осевой силе Fa, действующей на вал: Ra = Fa. Силу Fa воспринимает подшипник, ограничивающий осевое перемещение вала под действием этой силы.
При установке вала на радиально-упорных подшипниках (рис. 2 и рис. 3) осевые силы Ra, нагружающие подшипники, находят с учетом осевых составляющих Rs, возникающих под действием радиальных сил Rr, из-за наклона контактных площадок.

Rs = e’Rr,
где значение параметра e' принимают в зависимости от соотношения Rr/C0r. В качестве примера в таблице 1 приведена зависимость параметра e' от соотношения Rr/C0r для подшипника с углом контакта α = 15˚.
Таблица 1. Зависимость параметра е’ от соотношения Rr/C0r при α = 15˚.
- для шариковых радиально-упорных подшипников с большим углом (α ≥ 18˚) контакта, не изменяющимся под действием осевой силы: Rs = eRr Значения параметра е указаны в каталоге; - для конических роликовых подшипников: Rs = 0,83eRr.
Величина Rs представляет собой минимальную осевую силу, которая должна действовать на радиально-упорный регулируемый подшипник при заданной радиальной нагрузке. Для нормальных условий работы осевая сила Ra, нагружающая подшипник, должна быть не меньше минимальной: Ra ≥ Rs.
Расчетную осевую силу Ra на каждый из двух радиально-упорных подшипников определяют по формулам из таблицы 2, полученным из условия равновесия всех осевых сил, действующих на вал.
Таблица 2. Формулы для определения расчетной осевой силы Ra.
В некоторых случаях в одой опоре устанавливают два одинаковых радиально-упорных подшипника, образующих один подшипниковый узел. При этом пару подшипников рассматривают как один двухрядный подшипник. В этом случае при определении ресурса по приведенной выше формуле (2) вместо Сr подставляют базовую экономическую радиальную грузоподъемность Cr сум комплекта из двух подшипников: - для шарикоподшипников Cr сум = 1,625Сr, - для роликоподшипников Cr сум = 1,714Сr.
Базовая статическая радиальная грузоподъемность С0r сум такого комплекта равна удвоенной номинальной грузоподъемности одного однорядного подшипника: С0r сум = 2С0r. В этом случае при определении эквивалентной нагрузки Rr значение коэффициентов X и Y принимают как для двухрядных подшипников. Следует отметить, что сдвоенная установка радиальных подшипников не рекомендуется.
***
Расчет эквивалентной нагрузки при переменных режимах работы
В общем случае подшипники качения могут работать при различных по величине нагрузках и соответствующих им частотах вращения. Для расчета ресурса подшипников при переменном режиме работы применяют метод суммирования утомляемости. Реальный режим нагружения задают циклограммой – графиком изменения нагрузки во времени (пример на рис. 4). Вычисляют эквивалентную нагрузку RE, т. е. нагрузку, которая вызывает такой же эффект усталости, что и весь комплекс действующих сил.
Для шариковых и роликовых подшипников эквивалентная нагрузка определяется по формуле:
RE = 3√(RE13L1 + RE23L2 +…+ REi3Li +…+ REn3Ln), (5)
где RE1, RE2, … REi, …, REn – постоянные эквивалентные нагрузки, действующие в течение L1, L2,…, Li,…, Ln млн. оборотов; L = L1 + L2+…+ Li+ …+ Ln – общее число млн. оборотов за время действия всех нагрузок.
Если продолжительность работы Lhi на каждом режиме задана в часах, то ее пересчитывают в млн. оборотов:
Li = 60niLhi/106.
По формуле (4) определяют эквивалентную динамическую радиальную нагрузку REr и эквивалентную осевую нагрузку REa, подставляя вместо REi соответственно REri и REai.

Для подшипников, работающих в типовых режимах нагружения, расчеты удобно вести с помощью коэффициента эквивалентности KE, заранее определенного для каждого режима. При этом по известным максимальным длительно действующим на подшипник силам Rr max и Ra mav с учетом режима работы находят эквивалентные нагрузки Rr = KE Rr max и Ra = KE Ra max по которым и выполняют расчет подшипников как при постоянной нагрузке.
Момент Ткач трения качения в подшипнике определяется по формуле:
Ткач = 0,5fkdRr, (6)
где Rr – радиальная сила, действующая на подшипник (суммарная опорная реакция), Н; d – номинальный посадочный диаметр цапфы, мм; fk – приведенный коэффициент трения качения; fk = 0,001…0,008 в зависимости от типа подшипника качения (бόльшие значения принимают для роликовых подшипников).
***
Последовательность расчета подшипников качения на заданный ресурс
При расчете (подборе) подшипников качения используют следующие исходные данные: 1. Расчетная схема вала с указанием значения и направления сил. 2. Частота вращения вала n, об/мин. 3. Диаметр цапф вала d, мм. 4. Типовой режим нагружения. 5. Необходимый уровень надежности. 6. Заданный ресурс подшипника L'sah, ч. 7. Условия эксплуатации подшипникового узла (возможные перегрузки, рабочая температура и т. п.).
Последовательность расчета (подбора):
А. Проектировочный расчет.
1. Вычисляют радиальные реакции опор в вертикальной Rв max и горизонтальной Rг max плоскостях от внешних максимально длительно действующих сил. Находят суммарные реакции Rr max для каждой опоры:
Rr1 max = √(Rв1 max2 + Rг1 max2); Rr2 max = √(Rв2 max2 + Rг2 max2). (7)
При определении опорных реакций радиально-упорных подшипников пролетом между опорами считают расстояние l, полученное с учетом угла контакта α.
Находят эквивалентные силы в соответствии с заданным типовым режимом нагружения:
Rr1 = KE Rr1 max; Rr2 = KE Rr2 max; Ra = KE Ra max.
2. Тип подшипника и схему осевого фиксирования вала назначают, исходя из условий работы, действующих нагрузок и разрабатываемой конструкции.
По каталогу, ориентируясь на легкую серию, по диаметру цапфы вала выбирают подшипник и принимают его характеристики: а) для шарикового радиального и радиально-упорного подшипника с углом контакта α < 18˚ значения базовых динамической Сr и статической С0r радиальных расчетных грузоподъемностей; б) для шарикового радиально-упорного подшипника с углом контакта α ≥ 18˚ значения Cr и (по каталогу) значение параметра осевого нагружения е; в) для конического роликового подшипника значения Сr, е и Y.
3. Принимают расчетные коэффициенты V, КБ, КТ, а23 в зависимости от условий работы; коэффициент а1 – в зависимости от требуемой надежности. Определяют осевые силы Rа, нагружающие подшипник. Для шариковых радиально-упорных и роликовых конических подшипников вычисляют для обеих опор минимальные осевые силы Rs, а затем по формулам таблицы 2 вычисляют расчетные осевые силы Rа.
4. Для подшипников шариковых радиальных и радиально-упорных с углом контакта α < 18˚ вычисляют значение Ra/C0r и по каталогу принимают значение е. Сравнивают отношение Ra/(VRr) с параметром е и принимают значение коэффициентов X и Y: а) если Ra/(VRr) ≤ е, то для всех типов подшипников, кроме сферических, X =1, Y – по каталогу; б) при Ra/(VRr) > е для подшипников шариковых радиальных и радиально-упорных принимают по каталогу значения коэффициентов X и Y; в) при Ra/(VRr) > е для конических роликовых подшипников приинмают X = 0,4 (значение Y принято в п. 2, в).
5. Вычисляют эквивалентную динамическую радиальную нагрузку REr по формуле (4).
Б. Проверочный расчет.
6. Определяют скорректированный расчетный ресурс Lsah (2) и оценивают пригодность намеченного подшипника (3). Если расчетное значение Lsah меньше значения заданного ресурса L'sah для принятого подшипника, то переходят к более тяжелой размерной серии или принимают другой тип подшипника (например, вместо шарикового – роликовый) и расчет повторяют. В отдельных случаях увеличивают диаметр d цапфы вала с целью перехода на следующий типоразмер подшипника. В этом случае в конструкцию вала вносят изменения.
Если для обеих опор вала принимают подшипники одного типа и одного размера, то расчет и подбор подшипника ведут по наиболее нагруженной опоре. В этом случае уменьшается количество типоразмеров подшипников в конструкции.
***
Расчет (подбор) подшипника качения на статическую грузоподъемность
Подшипники качения, воспринимающие внешнюю нагрузку в неподвижном состоянии или при медленном вращении с частотой n < 10 об/мин, подбирают по статической грузоподъемности С0 (Н).
Базовая статическая грузоподъемность подшипника С0 – это такая статическая сила в Н (радиальная – для радиальных и радиально-упорных, и центральная осевая – для упорных и упорно-радиальных подшипников), которая вызывает общую остаточную пластическую деформацию тел качения и колец (в виде вмятин) в наиболее нагруженной точке контакта, равную 0,0001 диаметра тела качения. Значения С0 приведены в каталогах для каждого стандартного подшипника и обозначены: С0r – для радиальных и радиально-упорных подшипников; С0a – для упорных и упорно-радиальных подшипников.
Базовую статическую радиальную грузоподъемность С0 используют также для проверки подшипников, подобранных по базовой динамической радиальной грузоподъемности Сr и работающих при резкопеременной нагрузке.
Условие подбора и проверки подшипников:
С0r ≥ R0Er или С0a ≥ R0Ea,
где R0Er и R0Ea – статическая эквивалентная нагрузка соответственно радиальная и осевая, Н.
Статическая эквивалентная нагрузка – это такая статическая сила, которая должна вызвать такие же контактные напряжения в наиболее тяжело нагруженной зоне контакта, как и в условиях действительного нагружения. Для радиальных и радиально-упорных шарикоподшипников и радиально-упорных роликоподшипников статическая эквивалентная нагрузка определяется по формуле:
R0Er = X0Rr + Y0Ra.
Здесь Rr и Ra – радиальная и осевая силы, нагружающие подшипник, Н; X0 и Y0 – коэффициенты радиальной и осевой статических сил (справочная величина). Например, для шариковый радиальных однорядных и двухрядных подшипников X0 = 0,6, Y0 = 0,5
Для упорных подшипников:
R0Ea = Ra.
***
Статьи по теме "Подшипники качения": Общие сведения о подшипниках качения Характеристика основных типов подшипников качения Примеры решения задач на подбор подшипников Конструирование подшипниковых узлов Обозначение и маркировка импортных подшипников